[물리실험] 자이로스코프 세차 운동(Gyroscope)

[물리실험] 자이로스코프 세차운동(Gyroscope)

1. 실험 주제 :  자이로스코프

2. 준비물

자이로스코프실험세트, 추, 초시계, 저울, 실, 도르래, 자, 계산기

3. 실험 이론

지지대 끝에 질량을 매달면 자이로스코프에 토크가 작용한다.

4. 실험 과정

Experiment 1 : Precession

Part Ⅰ : Measuring the Precession Rate (세차율 측정)

1. 장치 준비
① 실험 장치를 매뉴얼을 참고하여 설치한다.
② 추가질량 없이 자이로스코프가 균형이 맞을 때까지 큰 평형추의 위치를 조정한다.
작은 평형추를 이용하여 미세하게 조정한다.

2. 실험 순서
① 추가 질량을 재서 표에 기록한다. 축 끝에 추가 질량을 매단다.
추가 질량과 회전축 중심까지의 거리(d)를 측정하여 표에 기록한다.
② 자이로스코프를 잡고 있는 동안은 세차운동하지 않는다. 회전판을 1초당 2회 정도 회전
시킨다. 회전판이 10회전 하는 시간을 재면 회전판의 각속도 ω를 결정할 수 있다.
③ 자이로스코프를 세차운동 시키고 2회전 할 때의 시간을 재서 세차율을 알 수 있다.
④ 즉시 회전판의 10회전 시간을 반복 측정하라. 세차운동 전후의 data는 세차운동 하는 동안의 회전판의 평균 각속도를 알 수 있게 할 것이다.

  Part Ⅱ : Measuring Quantities For the Theoretical Value

1. 장치 준비
① 자이로스코프의 지지대를 수평으로 맞추어 clamp로 조인다.
② 실을 회전판 pulley에 감는다.
2. 실험 순서
Accounting For Friction
이론값에는 마찰이 포함되어 있지 않으므로, 운동마찰을 이기기 위한 질량이 얼마인가를 알아야 이 실험에서 마찰을 보상할 수 있다. 추가 일정한 속력으로 떨어진다면 이 추의 무게가 곧 운동 마찰이 된다. 장치의 가속도를 측정하기 위해 사용되는 질량에서 이“마찰질량(friction mass)을 뺄 것이다.
① 운동 마찰을 이겨낼 질량을 찾기 위해 pulley에 적당한 질량을 걸어 두어 속력이 일정하게 만든다. 이 마찰질량을 기록한다.

Finding the Acceleration of the Disk
① 가속도를 측정하기 위해 pulley에 30g의 추를 실에 감아 매단 후 테이블에서 바닥까지 추를 떨어뜨려 떨어지는 시간을 잰다.
② 5번 위 실험을 반복한다. 단, 추를 떨어뜨리는 위치는 항상 일정하게 한다.
③ 추를 떨어뜨린 위치를 측정하여 기록한다.

Measure the Radius
① 캘리퍼스를 이용하여 pulley의 반경을 측정하여 기록한다.

Experiment 2 : Counter-rotating Disks-Demonstration

1. 장치 설치
① 그림 2.1과 같이 회전축 끝에 두 번째 회전판을 설치한다.
② 두 번째 평형추를 회전축 끝에 달아서 평형을 맞춘다. 회전판을 돌렸을 때
자이로스코프가 세차운동을 한다면 더욱 조절하여 평형을 맞춰야 한다.
③ 1m짜리 실을 2개 잘라서 두 회전판에 걸어 둔다. 각 실에 추를 달 수 있는 고리를
만들어 놓는다.
④ 회전하는 방향을 정확히 보이게 하기 위해서 회전판 가장자리에 하얀색 종이를 붙인다.

2. 실험 순서
① 손으로 두 회전판을 같은 방향으로 돌려보자. 자이로스코프는 세차운동을 하지 않는다.
② 회전판 끝에 추가질량을 달고 나사로 단단히 조인다. 두 회전판은 한꺼번에 같은
방향으로 회전시키면 이제 자이로스코프가 세차운동을 하게 된다.
③ 두 회전판을 한꺼번에 반대방향으로 회전시키면 반대방향으로 세차운동을 한다.
④ 이제 두 회전판을 서로 반대방향으로 회전시킨다. 이렇게 하기 위해서는 각 회전판에
있는 pulley에 반대방향으로 실을 같은 수만큼 감아둔다. 같은 질량의 추를 이용하여
동시에 추를 떨어뜨림으로써 실을 잡아당긴다. 토크가 생겼지만 두 회전판이
반대방향으로 회전하고 있을 때, 자이로스코프는 세차운동을 하지 않음을 볼 수 있다.

Experiment 3 : Precession-Demonstration

1. 목적
세차축의 운동을 정지시킬 때 디스크가 아래쪽으로 기울 것임을 예측하고 이를 관찰한다.
2. 실험 방법
① 자이로스코프를 평형이 유지되도록 조절한다.
② 지지대의 끝에 무게를 더한다.
③ 회전판을 회전시켜서, 세차운동을 하게 한다.
④ 손으로 수직 지지대를 잡음으로써 세차운동의 속도를 줄이거나 못하게 한다.
그러면 디스크는 아래쪽으로 기울어 질것이다.
⑤ 수직 지지대를 세차운동과 같은 방향으로 회전시키면 디스크는 올라가게 된다.

Experiment 4 : Nutations-Demonstration

* 장동은 세차운동에 의한 주기적 진동현상
1. 목적 : 장동의 세 가지 타입 관찰
2. 실험 방법
① 자이로스코프를 평형이 유지되도록 조절한다.
② 지지대의 끝에 추가질량을 단다.
③ 회전판을 돌린다. 그 후 자이로스코프를 30° 각도로 기울인 채 놓아둔다.
④ 장동운동을 관찰한다.
⑤ 이번에는 처음 놓아줄 때 세차운동과 같은 방향, 반대 방향으로 속도를 더해 준 후 장동운동을 관찰한다.
⑥ 이런 장동운동을 회전판의 각속도를 달리해보면서 관찰한다.
⑦ 30도가 아닌 다른 각도에서도 장동운동을 관찰한다.

5. 실험 결과 및 해석

Experiment 1 : Precession

Part Ⅰ : Measuring the Precession Rate (세차율 측정)

	10회 회전 시간(처음)	10회 회전 시간(나중)	세차운동 하는데 걸린 시간(2회)
	2.30〃	2.55〃	9.92〃
	2.57〃	2.59〃	8.46〃
	2.52〃	3.10〃	9.17〃
	2.73〃	2.73〃	9.08〃
	2.76〃	3.33〃	8.55〃
	3.20〃	4.01〃	9.27〃
	2.83〃	3.36〃	8.87〃
	3.45〃	3.51〃	8.89〃
	3.35〃	3.54〃	9.05〃
	3.48〃	3.54〃	8.67〃
평 균	2.92〃	3.23〃	8.99〃

추가질량	2.68×10-1 kg
회전축에서 추가질량까지의 거리(d)	2.13×10-1 m
10회 회전 평균 시간(처음)	2.92〃
세차운동 하는데 걸린 평균시간(2회)	8.99〃
10회 회전 평균 시간(나중)	3.23〃

Part Ⅱ : Measuring Quantities For the Theoretical Value

마찰 질량		2.5×10-3 kg
걸어 둔 질량		30.0×10-3 kg + 2.5×10-3 kg
추를 떨어뜨린 높이		76.0×10-2 m
pulley의 반경		3.0×10-2 m
시간
8.63〃
8.63〃
8.44〃
8.50〃
8.59〃
평균	8.558〃

가속도	2.08×10-2 ㎨
회전관성	1.27×10-2
회전판의 평균 각속도	20.40 s-1
세차율의 실험값	1.40 s-1
세차율의 이론값	2.16 s-1
오차율	35.18 %

세차율의 실험값이 이론값보다 훨씬 더 작게 측정되었다. 이러한 결과에는 여러 가지 오차의 원인이 있겠지만 가장 큰 오차라고 생각되는 것은 각속도 w를 측정 하는 것에 있다고 생각된다. 회전판이 10회 회전할 때 고른 세차를 만들기 위해 각속도를 크게 만들다보니 정확하게 측정하는데 많은 어려움이 있었다. 사람의 눈으로 빠르게 돌아가는 회전판의 회전수를 정확히 세는 것 뿐 만아니라 그것을 보고 반응하여 초시계를 누르는 시간도 무시할 것이 못 되기 때문이다. 또한 세차율의 실험값도 완전히 고른 세차를 하지 않고 장동을 하는 경우였으므로 완벽한 세차율의 실험값이라고 할 수 없다. 이론값에서는 장동을 무시한 세차율이므로 차이가 있을 것이다. 또 회전하는 동안 마찰에 의해 세차율이 감소할 수도 있다.
마찰에 의한 것은 우리가 실험에서 통제할 수 없지만 각속도 w를 측정할 때 더욱 정확하게 측정하기 위해서 스트로보스코프라는 각진동수를 측정할 수 있는 기구를 사용하면 더욱 좋을 듯 하다.

Experiment 2 : Counter-rotating Disks-Demonstration

두 회전판을 동시에 같은 방향으로 돌릴 때는 하나의 회전판이 돌 때와 마찬가지로 세차운동을 하였다. 그러나 두 회전판을 반대방향으로 같은 각속도로 회전시켰더니 세차운동을 하지 않고 그대로 아래로 떨어졌다. 즉, 반대방향의 각운동량에 의해 회전판의 총 각운동량이 “0”이 되어 회전하지 않는 자이로스코프의 경우가 똑같은 결과가 관찰되었다.
두 회전판을 동시에 같은 각속도를 내기 위해서 실을 각 회전판의 pulley 에 붙인 후 실의 끝에 고리를 만들었다. 두 고리에 동시에 500g 추를 매달아서 추를 떨어뜨림으로써 회전판의 각속도를 동일하게 만들었다. 이 과정이 이번 실험에서 가장 까다로웠던 부분 중 하나이다. 추에 다가 두 개의 실을 달아서 떨어뜨린 만큼 실이 각 판에 작용한 장력에는 차이가 없었을 것이나, 테이프를 이용해서 고정 시켰다가 그것이 떨어지면서 두 판에 작용하는 힘이 차이가 나기 때문에 각 판에 작용하는 토크에 작은 차이가 나고, 그 결과 총 각운동량을 “0”으로 만드는 것이 생각보다는 어려운 작업이 있다. 그리고 다수의 시행착오 결과 동일한 각속도로 만들었을 경우에도 처음에는 두 판은 각운동량이 크기는 같고 방향은 반대였지만, 회전판이 회전을 할 때 마찰에 의해 각속도의 감소율이 달라져서 시간이 지남에 따라 특정 회전판의 각속도가 더욱 크게 되어 총 각운동량이 “0”이 되지 않을 때는 세차운동이 일어났다.

Experiment 3 : Precession-Demonstration

각속도를 주기 위해 실에 매달아서 돌려보았지만 손으로 하는 경우가 가장 좋았다. 손으로 회전판의 아래 부분에서부터 돌리면 꽤 큰 값의 각속도를 얻을 수 있다. 각속도가 큰 경우 자이로스코프는 고른 세차 운동을 하였고 수직 지지대를 잡아서 세차운동을 하지 못하도록 하였더니 회전판 부분이 아래로 떨어졌다. 다시 수직 지지대를 원래 세차운동 방향으로 밀어주었더니 세차운동을 하였다.
수직 지지대를 잡음으로써 중력에 의한 토크가 지면과 평행한 방향으로의 각운동량을 변화시키지 못하여 회전판이 아래로 회전하는 방향으로의 각운동량을 변화하게 하였기 때문에 이런 결과가 나타난 것이다. (즉, 토크에 의해서 일어나는 각운동량의 변화를 막음으로서,, 세차운동 대신 수직으로 떨어짐을 통해서 각운동량이 변화하는 것을 보게 되었다. 이는 각운동량이 항상 성립한다는 것을 보여주는 한 예라고 볼 수 있다.) 또한 원래 세차운동 방향으로 토크를 가해주면 회전판의 각운동량을 변화하게 한다.

Experiment 4 : Nutations-Demonstration

30° 각도로 기울인 채 회전판을 회전시켰더니 사이클로이드와 유사한 모양으로 장동을 하였다. 그 상태에서 세차운동 방향으로 토크를 작용했더니 사인파와 유사한 모양으로 장동을 하였고 세차운동의 반대방향으로 토크를 작용했더니 용수철 모양으로 장동을 하였다.

장동이론은 생각보다 복잡했다. 처음에 정성적으로 설명해 보려고 했으나, 실패하고 Euler 방정식을 통해서만 설명이 가능하였다. (다른 방법으로 설명이 가능 할지도 모르지만.)

아래의 참고 자료로 올려놓은 것을 바탕으로 장동의 원리에 대해서 이해한 만큼 설명하자면...

기본적인 접근 방법은 에너지 보존 법칙이다. 아래의 (1)번 식처럼 장동의 에너지를 Euler자표계를 사용하여 나타낼 수 있다. 그런데 여기서 Euler방정식을 유도 하다 보면, (2)식이 주어짐을 알 수 있다. 이것은 세차 운동하는 각속력을 의미한다. 이 값은 “쎄타” 만의 함수라는 것이 중요한 Point가 된다. 우선 (2)식을 (1)식에 대입하면 (3)식이 등장함을 유도해 낼 수 있다. 여기서 첫 번째 항은 판의 회전이 일정하므로 const 한 값이 되고, 두 번째 항은 판이 위아래 즉, “쎄타” 방향으로의 회전운동에너지가 된다. 그리고 이제 남은 세 번째, 네 번째 항이 중요한 데 이를 유효 퍼텐셜이라고 부른다.

이 두 항 중, 첫 째항은 회전축과 동일한 각속도로 회전운동(세차운동)하는 좌표계에서 보았을 때 느끼게 되는 퍼텐셜성분이다. (만약, 위의 조건 처럼 회전하는 좌표계에서 관찰하게 되면, “파이”방향으로 회전하는 운동에너지 (1)식에 두 번째 항 처럼 표현 할 수 없고,, (2)식을 적용해, (3)식처럼 표현 할 수 밖에 없게 된다. (그렇기 때문에 이를 일반적인 포텐셜 에너지와 달리 유효 포텐셜 에너지라는 개념을 통해서 설명하는 듯하다.) 그리고 마지막 항은 중력에 대한 포텐셜 에너지(위치에너지)이다.

이 결과, (4)번 식을 만들 수 있고, 이 식에서도 에너지 보존 법칙은 성립함을 알 수 있다. 그런데, 이 의 두 번째 항인 유효퍼텐셜 부분은 “세타”만의 함수 이므로, 그래프를 그려보면 아래의 그래프처럼 나타 낼 수 있다. 그러면 우리는 이 경우에, 위치에너지의 최소가 되는 지점이 “쎄타” 범위의 중간에 위치함을 알 수 있다. 이는 용수철을 늘렸다가 놓았을 때, 마찰이 없다면 진동을 계속 하게 되는 것과 유사한 메카니즘으로 볼 수 있다.

이야기 전개의 중반부에서, 세차운동하는 것과 동일한 회전을 하고 있는 좌표계의 관점에서 에너지식 (3)을 서술하였다. 그 결과 수직운동의 원인과 결과를 이해할 수 있게 되었다. 그런데 우리의 시점인, 정지해 있는 시점에서 본다면, 수직운동과, 세차운동하는 현상이 합쳐져서 나타나게 된다. 이 현상을 장동이라고 할 수 있다.

장동의 특별한 Case인 정상 세차 운동은 Euler방정식을 풀다보면 (5)식을 만족해야 함을 알 수 있다. 따라서 토크가 크게 걸리면 판의 회전을 빠르게 하거나, 세차하는 각속력을 크게 해야 정상세차가 가능함을 알 수 있다. 또한 같은 토크가 걸리는 상태라면 판의 회전이 빠를 경우에 비해 느릴 경우가 세차운동하는 각속력이 커야함을 알 수 있다.


<한글로 표현하기가 어려워, 손으로 직접 써서 올립니다. 그리고 장동에 앞서, 간단하게 토크가 세차운동을 일으키는 원리에 대해서 먼저 설명하였습니다.
장동설명 시에 필요한 Euler 좌표계는 Grant R. Fowles가 저술한, 일반 역학(7e)를 참고 하였습니다. >

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